\chapter{宇宙学微扰论}





到目前为止，我们都认为宇宙是完全均匀的。
为了理解大尺度结构的形成和演化，我们必须引入非均匀性。
只要这些扰动保持在相对较小的范围，我们就可以用微扰理论来处理它们。
在本章中，我们将发展出宇宙学微扰论的形式化体系。




爱因斯坦方程将应力--能量张量中的扰动与度规中的扰动耦合起来，因此需要同时研究两者。
我们将度规和应力--能量张量的小扰动写成
\begin{equation*}
	\begin{gathered}
		g_{\mu \nu}(\eta, \boldsymbol{x})=\bar{g}_{\mu \nu}(\eta)+\delta g_{\mu \nu}(\eta, \boldsymbol{x}), \\
		T_{\mu \nu}(\eta, \boldsymbol{x})=\bar{T}_{\mu \nu}(\eta)+\delta T_{\mu \nu}(\eta, \boldsymbol{x}) .
	\end{gathered}
\end{equation*}
为了避免混乱，在扰动中我们通常会丢掉自变量$(\eta, \boldsymbol{x})$。


\section{度规扰动}




为了避免技术上不必要的干扰，我们将背景度规$\bar{g}_{\mu \nu}$取为FRW中的平直度规。
扰动的时空可以写成
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[(1+2 A) \mathrm{d} \eta^2-2 B_i \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} \eta-\left(\delta_{i j}+h_{i j}\right) \mathrm{d} x^i \mathrm{~d} x^j\right],
\end{equation}
其中$A $、$  B_i$和$h_{i j}$是空间和时间的函数。
我们将采取一个有用的约定，即空间向量和空间张量上的拉丁文指标用$\delta_{i j}$来进行升降\textnote{例如$h^i{ }_i=\delta^{i j} h_{i j}$}。



对扰动施行标量--矢量--张量\textnote{SVT}的分解将是非常有用的。
对于3个矢量而言，这应该很熟悉。
这仅仅意味着我们可以将任何3矢量分解成一个标量的梯度加上一个无散度的矢量
\begin{equation}
	B_i=\underbrace{\partial_i B}_{\text {scalar }}+\underbrace{\hat{B}_i}_{\text {vector }},
\end{equation}
这里有$\partial^i \hat{B}_i=0$。
类似地，任何2阶对称张量都可以写成
\begin{equation}
	h_{i j}=\underbrace{2 C \delta_{i j}+2 \partial_{\langle i} \partial_{j\rangle} E}_{\text {scalar }}+\underbrace{2 \partial_{(i} \hat{E}_{j)}}_{\text {vector }}+\underbrace{2 \hat{E}_{i j}}_{\text {tensor }}
\end{equation}
其中
\begin{align}
	\begin{split}
		\partial_{\langle i} \partial_{j\rangle} E & \equiv\left(\partial_i \partial_j-\frac{1}{3} \delta_{i j} \nabla^2\right) E, 
	\end{split}\\
\begin{split}
		\partial_{(i} \hat{E}_{j)} & \equiv \frac{1}{2}\left(\partial_i \hat{E}_j+\partial_j \hat{E}_i\right) .
	\end{split}
\end{align}
与之前一样，带帽子\textnote{$ \hat{{}} $}的量是无散度的，即$\partial^i \hat{E}_i=0$和$\partial^i \hat{E}_{i j}=0$。
张量扰动是无迹的，$\hat{E}^i{ }_i=0$。
因此，度规的10个自由度被SVT分解为$4+4+2$ 自由度：
\begin{itemize}
	\item 
	标量: $A, B, C, E$
	\item 
	矢量: $\hat{B}_i, \hat{E}_i$
	\item 
	张量: $\hat{E}_{i j}$
\end{itemize}
使得SVT分解如此强大的原因是，
爱因斯坦方程在线性阶近似下标量、向量和张量没有混合，因此可以单独处理。
在这些课程中，我们主要对标量扰动及与之相关的密度扰动感兴趣。
矢量扰动不能够由暴胀产生，即使能，它们也会随着宇宙的膨胀而迅速衰减。
张量扰动是暴胀理论的一个重要预测，我们将在第6章简要讨论一下。



\begin{omnipotent}{规范问题}
	在（4.1.1）中度规扰动的定义并不是唯一的，而是取决于我们的坐标选择，或者说是“规范选择”。
	特别地，当我们写下扰动度规时，我们隐式地在时空中选择了一组特殊的时间切片，并在这些时间切片上定义了特殊的空间坐标。
	选择不同的坐标，就可以改变扰动变量的值。
	这甚至可以引入虚假的扰动。
	这些假扰动，即使在背景是完全均匀的情况下，也可以通过选择不方便的坐标产生。
	
	
	
	
虚假扰动。---例如，考虑一个平坦的FRW时空，并对空间坐标进行以下更改， $x^i \mapsto \tilde{x}^i=x^i+\xi^i(\eta, \boldsymbol{x})$。
我们假设 $\xi^i$ 很小，以致于它也可以被当成扰动对待。
使用 $\mathrm{d} x^i=\mathrm{d} \tilde{x}^i-\partial_\eta \xi^i \mathrm{~d} \eta-\partial_k \xi^i \mathrm{~d} \tilde{x}^k$ ，线元变为
	\begin{equation}
		\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[\mathrm{d} \eta^2-2 \xi_i^{\prime} \mathrm{d} \tilde{x}^i \mathrm{~d} \eta-\left(\delta_{i j}+2 \partial_{(i} \xi_{j)}\right) \mathrm{d} \tilde{x}^i \mathrm{~d} \tilde{x}^j\right],
	\end{equation}
其中，我们丢掉了$\xi^i$中的二次项，并定义了$\xi_i^{\prime} \equiv \partial_\eta \xi_i$。
我们显然应该引入了度规扰动$B_i=\xi_i^{\prime}$和$\hat{E}_i=\xi_i$。但这些仅是虚构的规范模式，可以通过返回旧坐标系来消除。


另一个例子是，考虑时间切片的改变，$\eta \mapsto \eta+\xi^0(\eta, \boldsymbol{x})$。
然后，宇宙中均匀的密度就会受到扰动，$\rho(\eta) \mapsto \rho\left(\eta+\xi^0(\eta, \boldsymbol{x})\right)=\bar{\rho}(\eta)+\bar{\rho}^{\prime} \xi^0$。
因此，即使在一个未受扰动的宇宙中，时间坐标的变化也会引入一个虚构的密度扰动
\begin{equation}
	\delta \rho=\bar{\rho}^{\prime} \xi^0 .
\end{equation}
相反，我们也可以通过选择恒定时间的超曲面与恒定能量密度的超曲面相重合，来消除能量密度中的真实扰动。
尽管存在真正的不均匀性，但我们有$\delta \rho=0$。


这些例子说明我们需要一种更物理的方法来识别真实的扰动。
实现这一点的一种方法是，定义一种不会随着坐标改变而改变的扰动。

\end{omnipotent}



我们需要面对这样一个事实，度规的扰动可以通过坐标的改变而改变。考虑如下变换
\begin{equation}
	X^\mu \mapsto \tilde{X}^\mu \equiv X^\mu+\xi^\mu(\eta, \boldsymbol{x}), \quad \text { where } \quad \xi^0 \equiv T, \quad \xi^i \equiv L^i=\partial^i L+\hat{L}^i .
\end{equation}
我们已经将空间的变化$L^i$分成了标量$L$和无散度向量$\hat{L}^i$。
在下一个插入的方框中，我将展示在这种坐标变化下度规是如何转换的。
根据SVT分解，我们得到
\begin{align}
		&A \mapsto A-T^{\prime}-\mathcal{H} T,   && &&    \\
		&	B \mapsto B+T-L^{\prime}, && \hat{B}_i \mapsto \hat{B}_i-\hat{L}_i^{\prime} && \\
		&	C \mapsto C-\mathcal{H} T-\frac{1}{3} \nabla^2 L, && && \\
		&	E \mapsto E-L, && \hat{E}_i \mapsto \hat{E}_i-\hat{L}_i,  && \hat{E}_{i j} \mapsto \hat{E}_{i j}
\end{align}
\begin{derivation}{推导}
诀窍是利用时空间隔的不变性，
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=g_{\mu \nu}(X) \mathrm{d} X^\mu \mathrm{d} X^\nu=\tilde{g}_{\alpha \beta}(\tilde{X}) \mathrm{d} \tilde{X}^\alpha \mathrm{d} \tilde{X}^\beta
\end{equation}
此处，我在等式的两边使用了一组不同的哑指标，以使接下来的几行更加清晰。
写下$\mathrm{d} \tilde{X}^\alpha=\left(\partial \tilde{X}^\alpha / \partial X^\mu\right) \mathrm{d} X^\mu$\textnote{对$\mathrm{d} X^\beta$类似}，我们发现
\begin{equation}
	g_{\mu \nu}(X)=\frac{\partial \tilde{X}^\alpha}{\partial X^\mu} \frac{\partial \tilde{X}^\beta}{\partial X^\nu} \tilde{g}_{\alpha \beta}(\tilde{X}) .
\end{equation}
这将旧坐标中的度规$g_{\mu \nu}$与新坐标中的度规$\tilde{g}_{\alpha \beta}$联系了起来。



让我们看看对于（4.1.1）中的度规扰动，在（4.1.14）下的变换意味着什么。
我将以00分量为例子，其余的留作为练习。
考虑（4.1.14）中的$\mu=\nu=0$：
\begin{equation}
	g_{00}(X)=\frac{\partial \tilde{X}^\alpha}{\partial \eta} \frac{\partial \tilde{X}^\beta}{\partial \eta} \tilde{g}_{\alpha \beta}(\tilde{X})
\end{equation}
对左边有贡献的项仅有一个$\alpha=\beta=0$。
例如考虑，$\alpha=0$和$\beta=i$。
度规的非对角分量$\tilde{g}_{0 i}$正比于$\tilde{B}_i$，因此它是一阶扰动。
但是$\partial \tilde{X}^i / \partial \eta$与一阶变量$\xi^i$成正比，因此乘积是二阶的，可以忽略不计。
相似的论证也适用于$\alpha=i$和$\beta=j$。
因此，方程式（4.1.15）化简为
\begin{equation}
	g_{00}(X)=\left(\frac{\partial \tilde{\eta}}{\partial \eta}\right)^2 \tilde{g}_{00}(\tilde{X})
\end{equation}
代入（4.1.8）和（4.1.1），我们得到
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		a^2(\eta)(1+2 A) & =\left(1+T^{\prime}\right)^2 a^2(\eta+T)(1+2 \tilde{A}) \\
		& =\left(1+2 T^{\prime}+\cdots\right)\left(a(\eta)+a^{\prime} T+\cdots\right)^2(1+2 \tilde{A}) \\
		& =a^2(\eta)\left(1+2 \mathcal{H} T+2 T^{\prime}+2 \tilde{A}+\cdots\right)
	\end{aligned}
\end{equation}
其中$\mathcal{H} \equiv a^{\prime} / a$是共形时间下的哈勃参数。
因此，我们发现在一阶下，度规扰动$A$转变为
\begin{equation}
	A \mapsto \tilde{A}=A-T^{\prime}-\mathcal{H} T
\end{equation}
我让你重复其他度规分量的论证，由此证明
	\begin{align}
		B_i & \mapsto \tilde{B}_i=B_i+\partial_i T-L_i^{\prime}, \\
		h_{i j} & \mapsto \tilde{h}_{i j}=h_{i j}-2 \partial_{(i} L_{j)}-2 \mathcal{H} T \delta_{i j} .
	\end{align}
依照SVT分解，这就导出了（4.1.9）--（4.1.12）。


\end{derivation}



避免规范问题的一种方法是定义度规扰动的特殊组合，这些扰动在坐标变化时不会发生变化。这就是 Bardeen 变量
	\begin{align}
		& \Psi \equiv A+\mathcal{H}\left(B-E^{\prime}\right)+\left(B-E^{\prime}\right)^{\prime}, && \hat{\Phi}_i \equiv \hat{E}_i^{\prime}-\hat{B}_i, && \hat{E}_{i j} \\
		& \Phi \equiv-C-\mathcal{H}\left(B-E^{\prime}\right)+\frac{1}{3} \nabla^2 E 
	\end{align}
\begin{exercise}
	---证明$\Psi, \Phi$和$\hat{\Phi}_i$在坐标变换下不变。
\end{exercise}
这些规范不变的变量，由于它们不能够通过规范变换来消除，故可以被认为是“真实的”时空扰动，


规范问题的另一种\textnote{但相关的}解决方案是，固定规范并跟踪所有的扰动\textnote{度规和物质}。
例如，我们可以使用（4.1.8）中函数$T$和$L$的规范自由度，将四个标量度规扰动中的两个设为零：
\begin{itemize}
\item 
牛顿规范。---选择
\begin{equation}
	B=E=0,
\end{equation}
给出度规
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[(1+2 \Psi) \mathrm{d} \eta^2-(1-2 \Phi) \delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j\right]
\end{equation}
在这里，我们将剩下的两个度规扰动进行了重命名，$A \equiv \Psi$和$C \equiv-\Phi$，以便与（4.1.21）和（4.1.22）中的Bardeen势联系起来。
对于在空间无穷远处衰减的扰动，牛顿规范是唯一的\textnote{即规范被完全地固定}。
在这个规范中，物理学看起来相当简单，恒定时间的超曲面与相对坐标系静止的观察者的世界线正交\textnote{因为$B=0$}，并且在恒定时间超曲面上的诱导几何是各向同性的\textnote{因为$ E=0 $}。
在没有各向异性应力的情况下，$\Psi=\Phi$。
注意到，这与Minkowski空间中GR一般弱场极限下的度规具有相似性；我们将看到$\Psi$扮演着引力势能的角色。
牛顿规范将是我们研究大尺度结构形成的首选规范\textnote{见第5章}。




\item 
平直空间规范。---一个方便计算暴胀扰动的规范是
\begin{equation}
	C=E=0 .
\end{equation}
在这个规范中，我们将能够最直接地关注到暴胀子场的涨落$\delta \phi$\textnote{见第6章}。



\end{itemize}








\section{物质扰动}

我们将扰动的应力--能量张量写成
	\begin{align}
		T^0{ }_0 & =\bar{\rho}(\eta)+\delta \rho, \\
		T^i{ }_0 & =[\bar{\rho}(\eta)+\bar{P}(\eta)] v^i, \\
		T^i{ }_j & =-[\bar{P}(\eta)+\delta P] \delta_j^i-\Pi^i{ }_j,
	\end{align}
其中，$v_i$是整体速度，$\Pi^i{ }_j$是描述各向异性应力的横向无迹张量。
我们将使用$q^i$代表动量密度$(\bar{\rho}+\bar{P}) v^i$。
如果对应力--能量张量有多个贡献\textnote{例如光子、重子、暗物质等}，则把它们加起来：$T_{\mu \nu}=\sum\limits_a T_{\mu \nu}^{(a)}$。 这意味着
\begin{equation}
	\delta \rho=\sum\limits_a \delta \rho_a, \quad \delta P=\sum\limits_a \delta P_a, \quad q^i=\sum\limits_a q_{(a)}^i, \quad \Pi^{i j}=\sum\limits_a \Pi_{(a)}^{i j}
\end{equation}
我们看到密度、压强和各向异性应力的扰动只是简单地相加。
速度不是简单相加，但动量密度是。
最后，我们注意到SVT分解也可应用于应力--能量张量的扰动：$\delta \rho$和$\delta P$只有标量部分，$q_i$有标量和矢量部分，
\begin{equation}
	q_i=\partial_i q+\hat{q}_i,
\end{equation}
而$\Pi_{i j}$有标量、矢量和张量部分，
\begin{equation}
	\Pi_{i j}=\partial_{\langle i} \partial_{j\rangle} \Pi+\partial_{(i} \hat{\Pi}_{j)}+\hat{\Pi}_{i j}
\end{equation}
用无量纲的密度差异$\delta \equiv \delta \rho / \rho$来表示密度扰动也是很方便的。
总之，全部物质的标量扰动由四个扰动变量\textnote{$\delta, \delta P, v, \Pi$}来描述。
类似地，不同粒子$a=\gamma, \nu, c, b, \cdots$的扰动由$\left(\delta_a, \delta P_a, v_a, \Pi_a\right)$来表示。



在坐标变换（4.1.8）下，应力--能量张量转换为
\begin{equation}
	T^\mu{ }_\nu(X)=\frac{\partial X^\mu}{\partial \tilde{X}^\alpha} \frac{\partial \tilde{X}^\beta}{\partial X^\nu} \tilde{T}^\alpha{ }_\beta(\tilde{X}) .
\end{equation}
对不同分量进行计算，我们发现
	\begin{align}
		\delta \rho & \mapsto \delta \rho-T \bar{\rho}^{\prime}, \\
		\delta P & \mapsto \delta P-T \bar{P}^{\prime}, \\
		q_i & \mapsto q_i+(\bar{\rho}+\bar{P}) L_i^{\prime}, \\
		v_i & \mapsto v_i+L_i^{\prime}, \\
		\Pi_{i j} & \mapsto \Pi_{i j} .
	\end{align}
\begin{exercise}
---确认等式（4.2.33）--（4.2.37）。【提示：首先得让你自己确信，形式为$\mathbf{1}+\varepsilon$的矩阵，其逆精确到$\varepsilon$的一阶是$\mathbf{1}-\varepsilon$，其中$\mathbf{1}$是恒元，$\varepsilon$是一个小扰动。】
\end{exercise}


通过度规和物质中的变量可以形成各种各样的规范不变量。一个有用的组合是
\begin{equation}
	\bar{\rho} \Delta \equiv \delta \rho+\bar{\rho}^{\prime}(v+B),
\end{equation}
其中$v_i=\partial_i v$。量$\Delta$被称为共动规范密度扰动。


上面我们已使用了规范自由度将两个度规扰动设为零。
或者，我们可以在物质部分定义规范：
\begin{itemize}
\item 
均匀密度规范。---我们可以使用时间切片的自由度，将总密度扰动设置为零
\begin{equation}
	\delta \rho=0 .
\end{equation}


\item 
共动规范。---类似地，我们可以要求标量动量密度为零，
\begin{equation}
	q=0 .
\end{equation}
共动规范下的涨落，可以非常自然地跟暴胀初始条件相联系。
这将在$\S 4.4$和第6章中进行阐述。
\end{itemize}
有着不同版本的均匀密度和共动规范，
这些都是依据哪一种度规的涨落被设为零。
在此课程中，我们将选择$B=0$。



\section{运动方程}


在本节中，我们将确定物质度规扰动的线性运动方程。
我们将使用牛顿规范，其中度规采用以下形式
\begin{equation}
	g_{\mu \nu}=a^2\left(\begin{array}{cc}
		1+2 \Psi & 0 \\
		0 & -(1-2 \Phi) \delta_{i j}
	\end{array}\right) \text {. }
\end{equation}


\begin{exercise}
---证明与度规（4.3.41）相关的联络系数为
	\begin{align}
		\Gamma_{00}^0 & =\mathcal{H}+\Psi^{\prime}, \\
		\Gamma_{i 0}^0 & =\partial_i \Psi, \\
		\Gamma_{00}^i & =\delta^{i j} \partial_j \Psi, \\
		\Gamma_{i j}^0 & =\mathcal{H} \delta_{i j}-\left[\Phi^{\prime}+2 \mathcal{H}(\Phi+\Psi)\right] \delta_{i j}, \\
		\Gamma_{j 0}^i & =\left[\mathcal{H}-\Phi^{\prime}\right] \delta_j^i, \\
		\Gamma_{j k}^i & =-2 \delta_{(j}^i \partial_{k)} \Phi+\delta_{j k} \delta^{i l} \partial_l \Phi .
	\end{align}
\end{exercise}


\subsection{守恒方程}


物质扰动的运动方程遵循应力张量的守恒，$\nabla^\mu T_{\mu \nu}=0$。
如果不同组分间没有能量和动量的传递，那么各粒子的分别守恒，我们有$\nabla^\mu T_{\mu \nu}^{(a)}=0$。
配备了扰动的联络 ，我们可以导出下面的扰动守恒方程
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\nabla_\mu T_\nu^\mu & =0 \\
		& =\partial_\mu T_\nu^\mu+\Gamma_{\mu \alpha}^\mu T_\nu^\alpha-\Gamma_{\mu \nu}^\alpha T_\alpha^\mu
	\end{aligned}
\end{equation}
\begin{itemize}
\item 
连续性方程。---对于$\nu=0$，我们有
\begin{equation}
	\partial_\eta \delta \rho=-3 \mathcal{H}(\delta \rho+\delta P)+3 \Phi^{\prime}(\bar{\rho}+\bar{P})-\partial_i q^i
\end{equation}
这是描述密度扰动演化的连续性方程。
右边的第一项是因背景膨胀引起的稀释 \textnote{因$\bar{\rho}^{\prime}=-3 \mathcal{H}(\bar{\rho}+\bar{P})$}，$\partial_i q^i$项说明了由于本动速度引起的局部流的流动，而$\dot{\Phi}$项是一种纯粹的相对论效应，与局部膨胀率扰动\textnote{$(1-\Phi) a$是牛顿规范下度规空间部分的“局部标度因子”}引起的密度变化相对应。



\item 
欧拉方程。---对于$\nu=i$，我们有
\begin{equation}
	\partial_\eta q^i=-4 \mathcal{H} q^i-(\bar{\rho}+\bar{P}) \partial^i \Psi-\partial^i \delta P-\partial_j \Pi^{i j} .
\end{equation}
这是粘性流体的欧拉方程，即流体的“$F=m a$”。
在$\S 1.2$中，我们证明了本动速度随$a^{-1}$衰减。
因此，我们预计动量密度的标度为$q \propto a^{-4}$。
这也就解释了（4.3.50）右边的第一项。
而其余的项是关于力的项。
\end{itemize}
\begin{derivation}
---首先考虑（4.3.48）中$\nu=0$的分量，
\begin{equation}
	\partial_0 T^0{ }_0+\partial_i T^i{ }_0+\Gamma_{\mu 0}^\mu T_0^0{ }_0+\underbrace{\Gamma_{\mu i}^\mu T^i{ }_0}_{\mathcal{O}(2)}-\Gamma_{00}^0 T^0{ }_0-\underbrace{\Gamma_{i 0}^0 T ^i{ }_0}_{\mathcal{O}(2)}-\underbrace{\Gamma_{00}^i T^0{ }_i}_{\mathcal{O}(2)}-\Gamma_{j 0}^i T^j{ }_i=0 .
\end{equation}
将扰动的应力--能量张量和联络系数代入，有
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		& \partial_0(\bar{\rho}+\delta \rho)+\partial_i q^i+\left(\mathcal{H}+\Psi^{\prime}+3 \mathcal{H}-3 \Phi^{\prime}\right)(\bar{\rho}+\delta \rho) \\
		&-\left(\mathcal{H}+\Psi^{\prime}\right)(\bar{\rho}+\delta \rho)-\left(\mathcal{H}-\Phi^{\prime}\right) \delta_j^i\left[-(\bar{P}+\delta P) \delta_i^j\right]=0,
	\end{aligned}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
	\bar{\rho}^{\prime}+\partial_0 \delta \rho+\partial_i q^i+3 \mathcal{H}(\bar{\rho}+\delta \rho)-3 \bar{\rho} \Phi^{\prime}+3 \mathcal{H}(\bar{P}+\delta P)-3 \bar{P} \Phi^{\prime}=0 .
\end{equation}
分别写出零阶和一阶的部分，我们得到
	\begin{align}
		\bar{\rho}^{\prime} & =-3 \mathcal{H}(\bar{\rho}+\bar{P}), \\
		\partial_\eta \delta \rho & =-3 \mathcal{H}(\delta \rho+\delta P)+3 \Phi^{\prime}(\bar{\rho}+\bar{P})-\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{q} .
	\end{align}
零阶方程（4.3.54）只是均匀背景下的能量守恒方程。
一阶方程（4.3.55）是密度扰动$\delta \rho$的连续性方程。


接下来，考虑（4.3.48）的$\nu=i$分量，$\partial_\mu T^\mu{ }_i+\Gamma_{\mu \rho}^\mu T^\rho{ }_i-\Gamma^\rho{ }_{\mu i} T^\mu{ }_\rho=0$，因此
\begin{equation}
	\partial_0 T^0{ }_i+\partial_j T^j{ }_i+\Gamma_{\mu 0}^\mu T^0{ }_i+\Gamma_{\mu j}^\mu T^j{ }_i-\Gamma_{0 i}^0 T^0{ }_0-\Gamma_{j i}^0 T^j{ }_0-\Gamma_{0 i}^j T^0{ }_j-\Gamma_{k i}^j T^k{ }_j=0 .
\end{equation}
将扰动的应力--能量张量\textnote{$ T^0{ }_i=-q_i $}和联络系数代入，给出
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		-\partial_0 q_i+\partial_j\left[-(\bar{P}+\delta P) \delta_i^j-\Pi^j{ }_i\right]-4 \mathcal{H} q_i-\left(\partial_j \Psi-3 \partial_j \Phi\right) \bar{P} \delta_i^j-\partial_i \Psi \bar{\rho} \\
		-\mathcal{H} \delta_{j i} q^j+\mathcal{H} \delta_i^j q_j+\underbrace{\left(-2 \delta_{(i}^j \partial_{k)} \Phi+\delta_{k i} \delta^{j l} \partial_l \Phi\right) \bar{P} \delta_j^k}_{-3 \partial_i \Phi \bar{P}}=0 .
	\end{aligned}
\end{equation}
整理一下，我们发现
\begin{equation}
	\partial_\eta q_i=-4 \mathcal{H} q_i-(\bar{\rho}+\bar{P}) \partial_i \Psi-\partial_i \delta P-\partial^j \Pi_{i j},
\end{equation}
欧拉方程（4.3.50）的形式得到确认。


\end{derivation}
对于一些特殊情况，计算（4.3.49）和（4.3.50）是有益的：
\begin{itemize}
\item 
物质。---对于非相对论流体\textnote{即物质}，我们有$P_m=0$和$\Pi_m^{i j}=0$。
于是连续性和欧拉方程能够得到相当大程度的简化。
记$\delta_m \equiv \delta \rho_m / \rho_m$，我们得到
	\begin{align}
		\delta_m^{\prime} & =-\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}_m+3 \Phi^{\prime} \\
		\boldsymbol{v}_m^{\prime} & =-\mathcal{H} \boldsymbol{v}_m-\boldsymbol{\nabla} \Psi
	\end{align}
这些方程中的每一项都相当直观。
把（4.3.59）的时间导数和（4.3.60）的散度相结合，我们发现
\begin{equation}
	{\setlength\arraycolsep{-2pt}
	\begin{array}{ccccc}
		\delta_m^{\prime \prime} \ \ +&\mathcal{H}  \delta_m^{\prime}&= &\nabla^2  \Psi&+ \ \ 3\left(\Phi^{\prime \prime}+\mathcal{H} \Phi^{\prime}\right) . \\
		&\uparrow & &\uparrow &\\
		&\text { friction } & & \text { gravity }&
	\end{array}}
\end{equation}
在第5章中，我们将把这个方程应用于暗物质扰动的成团性上。


\item 
辐射。---对于相对论流体\textnote{即辐射}，我们有$P_r=\frac{1}{3} \rho_r$和$\Pi_r^{i j}=0$。连续性和欧拉方程变为
	\begin{align}
		\delta_r^{\prime} & =-\frac{4}{3} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}_r+4 \Phi^{\prime}, \\
		\boldsymbol{v}_r^{\prime} & =-\frac{1}{4} \boldsymbol{\nabla} \delta_r-\nabla \Psi
	\end{align}
把（4.3.62）的时间导数和（4.3.63）的散度相结合，我们得到
\begin{equation}
	{\setlength\arraycolsep{-2pt}
	\begin{array}{ccccc}
		\delta_r^{\prime \prime}\ -&\frac{1}{3} \nabla^2 \delta_r& = & \frac{4}{3} \nabla^2 \Psi&+ \ 4 \Phi^{\prime \prime} . \\
		&\uparrow& & \uparrow& \\
		&\text { pressure } && \text { gravity }&
	\end{array}}
\end{equation}
在第5章中，我们将展示，该方程是如何导致CMB中各向异性观测谱中的振荡的。
\end{itemize}
\begin{exercise}
---证明连续性和欧拉方程的最一般形式是
	\begin{align}
		\delta_a^{\prime} & =-\left(1+\frac{\bar{P}_a}{\bar{\rho}_a}\right)\left(\partial_i v_a^i-3 \Phi^{\prime}\right)-3 \mathcal{H}\left(\frac{\delta P_a}{\bar{\rho}_a}-\frac{\bar{P}_a}{\bar{\rho}_a} \delta_a\right) \\
		v_a^{i \prime} & =-\left(\mathcal{H}+\frac{\bar{P}_a^{\prime}}{\bar{\rho}_a+\bar{P}_a}\right) v_a^i-\frac{1}{\bar{\rho}_a+\bar{P}_a}\left(\partial^i \delta P_a-\partial_j \Pi_a^{i j}\right)-\partial^i \Psi
	\end{align}
确认这些表达式，在适当的极限下，可以化为物质和辐射的相关方程。
\end{exercise}
\begin{omnipotent}{点评}
---两个方程（4.3.65）和（4.3.66），并不足以完全描述四个扰动量$\left(\delta_a, \delta P_a, v_a, \Pi_a\right)$的演化。
为了取得进展，我们要么必须做出进一步的简化假设，要么找到更多的演化方程。两者我们都会做。


\begin{itemize}
\item 
理想流体的特点是通过强烈的相互作用，使压强保持各向同性，$\Pi_a=0$。
此外，压强扰动满足$\delta P_a=c_{s, a}^2 \delta \rho_a$，其中$c_{s, a}$是流体的绝热声速。
因此，理想流体的扰动仅由两个独立变量来描述，如$\delta_a$和$v_a$，对封闭系统来说连续性方程和欧拉方程足以完全描述。




\item 
已经解耦的或者较弱相互作用的粒子\textnote{例如中微子}不能用理想流体来描述，上述对各向异性应力和压强扰动的简化不适用。
在这种情况下，我们必需去求解相应的玻尔兹曼方程，以求得扰动分布函数$f_a$的演化。


\item 
退耦的冷暗物质是一个特例。
它是无碰撞的，速度弥散度可以忽略不计。
因此，它的行为就像一种无压强的理想流体，尽管它没有相互作用，实际上不是一种流体。
\end{itemize}
\end{omnipotent}

通过连续性方程和欧拉方程中的度规涨落，不同的物质组间分产生了引力的耦合。
通过爱因斯坦方程，总应力--能量张量的扰动决定了扰动时空的动力学。







\subsection{爱因斯坦方程}


让我们用牛顿规范计算线性化的爱因斯坦方程。
这尽管在代数上有点冗长，但在概念上却是简单直接。\footnote{在你的一生中，你应该手动做一次这样的计算。
	之后，您可以使用Mathematica：可以在\href{www.damtp.cam.ac.uk/user/db275/Cosmology/CPT.nb}{此处}下载到一个示例笔记\textnote{原链接已失效}。}
我们需要爱因斯坦张量\textnote{$G_{\mu \nu} \equiv R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}$}的扰动，所以我们要首先计算Ricci张量$R_{\mu \nu}$和Ricci标量$R$的扰动。



Ricci张量。---我们回记一下，Ricci张量可以用联络表示为
\begin{equation}
	R_{\mu \nu}=\partial_\lambda \Gamma_{\mu \nu}^\lambda-\partial_\nu \Gamma_{\mu \lambda}^\lambda+\Gamma_{\lambda \rho}^\lambda \Gamma_{\mu \nu}^\rho-\Gamma_{\mu \lambda}^\rho \Gamma_{\nu \rho}^\lambda
\end{equation}
代入（4.3.42）--（4.3.47）中的扰动联络系数，我们发现
	\begin{align}
		R_{00}= & -3 \mathcal{H}^{\prime}+\nabla^2 \Psi+3 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\Psi^{\prime}\right)+3 \Phi^{\prime \prime} \\
		R_{0 i}= & 2 \partial_i\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Psi\right) \\
		\begin{split}
			R_{i j}= & {\left[\mathcal{H}^{\prime}+2 \mathcal{H}^2-\Phi^{\prime \prime}+\nabla^2 \Phi-2\left(\mathcal{H}^{\prime}+2 \mathcal{H}^2\right)(\Phi+\Psi)-\mathcal{H} \Psi^{\prime}-5 \mathcal{H} \Phi^{\prime}\right] \delta_{i j} } \\
			& \quad+\partial_i \partial_j(\Phi-\Psi)
		\end{split}
	\end{align}
我将明确地导出$R_{00}$，并将其他分量留作练习。
\begin{example}
---Ricci张量的00分量是
\begin{equation}
	R_{00}=\partial_\rho \Gamma_{00}^\rho-\partial_0 \Gamma_{0 \rho}^\rho+\Gamma_{00}^\alpha \Gamma_{\alpha \rho}^\rho-\Gamma_{0 \rho}^\alpha \Gamma_{0 \alpha}^\rho
\end{equation}
对$\rho=0$的项在$\rho$的各项求和中可以消去，因此我们只需要考虑$\rho=i$的求和，
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		R_{00} & =\partial_i \Gamma_{00}^i-\partial_0 \Gamma_{0 i}^i+\Gamma_{00}^\alpha \Gamma_{\alpha i}^i-\Gamma_{0 i}^\alpha \Gamma_{0 \alpha}^i \\
		& =\partial_i \Gamma_{00}^i-\partial_0 \Gamma_{0 i}^i+\Gamma_{00}^0 \Gamma_{0 i}^i+\underbrace{\Gamma_{00}^j \Gamma_{j i}^i}_{\mathcal{O}(2)}-\underbrace{\Gamma_{0i}^0 \Gamma_{00}^i}_{\mathcal{O}(2)}-\Gamma_{0 i}^j \Gamma_{0 j}^i \\
		& =\nabla^2 \Psi-3 \partial_0\left(\mathcal{H}-\Phi^{\prime}\right)+3\left(\mathcal{H}+\Psi^{\prime}\right)\left(\mathcal{H}-\Phi^{\prime}\right)-\left(\mathcal{H}-\Phi^{\prime}\right)^2 \delta_i^j \delta_j^i \\
		& =-3 \mathcal{H}^{\prime}+\nabla^2 \Psi+3 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\Psi^{\prime}\right)+3 \Phi^{\prime \prime} .
	\end{aligned}
\end{equation}
这确认了（4.3.68）的结果。

\end{example}
\begin{exercise}
	---推导公式（4.3.69）和（4.3.70）。
\end{exercise}
Ricci标量。---计算Ricci标量相对简单
\begin{equation}
	R=g^{00} R_{00}+2 \underbrace{g^{0 i} R_{0 i}}_{\mathcal{O}(2)}+g^{i j} R_{i j} .
\end{equation}
由此得到
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		a^2 R= & (1-2 \Psi) R_{00}-(1+2 \Phi) \delta^{i j} R_{i j} \\
		= & (1-2 \Psi)\left[-3 \mathcal{H}^{\prime}+\nabla^2 \Psi+3 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\Psi^{\prime}\right)+3 \Phi^{\prime \prime}\right] \\
		& -3(1+2 \Phi)\left[\mathcal{H}^{\prime}+2 \mathcal{H}^2-\Phi^{\prime \prime}+\nabla^2 \Phi-2\left(\mathcal{H}^{\prime}+2 \mathcal{H}^2\right)(\Phi+\Psi)-\mathcal{H} \Psi^{\prime}-5 \mathcal{H} \Phi^{\prime}\right] \\
		& -(1+2 \Phi) \nabla^2(\Phi-\Psi) .
	\end{aligned}
\end{equation}
去掉非线性项后，我们有
\begin{equation}
	a^2 R=-6\left(\mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2\right)+2 \nabla^2 \Psi-4 \nabla^2 \Phi+12\left(\mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2\right) \Psi+6 \Phi^{\prime \prime}+6 \mathcal{H}\left(\Psi^{\prime}+3 \Phi^{\prime}\right) .
\end{equation}


爱因斯坦方程。---我们已经完成了计算爱因斯坦方程的所有工作
\begin{equation}
	G^\mu{ }_\nu=8 \pi G T^\mu{ }_\nu .
\end{equation}
我们选择将一个指标升上去，因为这可以简化应力张量的形式\textnote{参见$\S 4.2$}。
我们将首先考虑时间--时间分量。
爱因斯坦张量的相应分量是
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		G^0{ }_0 & =g^{00}\left[R_{00}-\frac{1}{2} g_{00} R\right] \\
		& =a^{-2}(1-2 \Psi) R_{00}-\frac{1}{2} R,
	\end{aligned}
\end{equation}
其中，我们使用了在牛顿规范下$g^{0 i}$为零。
代入（4.3.68）和（4.3.75），并对结果进行整理，我们有
\begin{equation}
	a ^{2} \delta G^0{ }_0=2 \nabla^2 \Phi-6 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Psi\right) .
\myfootnote{原文中漏写了$ a ^{2}  $}
\end{equation}
因此，00的爱因斯坦方程为
\begin{equation}
	\nabla^2 \Phi-3 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Psi\right)=4 \pi G a^2 \delta \rho
\end{equation}
其中，$\delta \rho \equiv \sum_a \delta \rho_a$是总密度扰动。
方程（4.3.79）是泊松方程的相对论推广。
在哈勃半径内，即对于$k \gg \mathcal{H}$的傅里叶模式，我们有$\left|\nabla^2 \Phi\right| \gg 3 \mathcal{H}|\dot{\Phi}+\mathcal{H} \Psi|$，因此方程（4.3.79）化简为$\nabla^2 \Phi \approx 4 \pi G a^2 \delta \rho$。
这是牛顿极限下的泊松方程。
在与哈勃半径相当的尺度上，即$k \lesssim \mathcal{H}$，
（4.3.79）中的GR修正将变得非常重要，



接下来，我们考虑爱因斯坦方程的空间部分。
爱因斯坦张量的相应分量是
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		G^i{ }_j & =g^{i k}\left[R_{k j}-\frac{1}{2} g_{k j} R\right] \\
		& =-a^{-2}(1+2 \Phi) \delta^{i k} R_{k j}-\frac{1}{2} \delta_j^i R .
	\end{aligned}
\end{equation}
从方程（4.3.70）中，我们可以看到$R_{k j}$中的大多数项正比于$\delta_{k j}$。
当与$\delta^{i k}$缩并后，这将导致大量的项正比于$\delta_j^i$。
我们不想去处理这种混乱。
相反，我们把注意力集中于$G^i{ }_j$的无迹部分。
我们可以通过投影张量$P^j{ }_i \equiv \partial^j \partial_i-\frac{1}{3} \delta_i^j \nabla^2$与$G^i{ }_j$进行缩并，来把这一部分给提取出来。
使用（4.3.70），这给出
\begin{equation}
	P^j{ }_i G^i{ }_j=-\frac{2}{3} a^{-2} \nabla^4(\Phi-\Psi) .
\end{equation}
这应该等于应力张量的无迹部分，对于标量波动
\begin{equation}
	P_i^j T^i{ }_j=-P_i^j \Pi_j^i=-\frac{2}{3} \nabla^4 \Pi .
\end{equation}
让（4.3.81）和（4.3.82）相等，我们得到
\begin{equation}
	\Phi-\Psi=8 \pi G a^2 \Pi
\end{equation}
其中$\Pi \equiv \sum_a \Pi_a$。
暗物质和重子可以被描述为理想流体，因此不会对（4.3.83）中的各向异性应力有所项献。
光子只有在物质主导的时期才开始产生各向异性应力分量，此时光子的能量密度是次要的。
因此，（4.3.83）中唯一相关的源是自由流动的中微子。
然而，它们的影响也是相对较小，因此，就我们在这些课程中所期望的准确性而言，它们可以被忽略。
因此方程（4.3.83）意味着$\Psi \approx \Phi$。
\begin{exercise}
---通过考虑时间--空间的爱因斯坦方程，证明
\begin{equation}
	\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Phi=-4 \pi G a^2 q .
\end{equation}
据此，泊松方程（4.3.79）可写成
\begin{equation}
	\nabla^2 \Phi=4 \pi G a^2 \bar{\rho} \Delta,
\end{equation}
其中，$\Delta$是（4.2.38）中的共动规范密度差异。
\end{exercise}



通过考虑空间--空间爱因斯坦方程的迹，我们可以导出如下度规势的演化方程
\begin{equation}
	\Phi^{\prime \prime}+3 \mathcal{H} \Phi^{\prime}+\left(2 \mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2\right) \Phi=4 \pi G a^2 \delta P
\end{equation}
其中$\delta P$是总压强扰动。
如果我们没有忽略各向异性应力，那么（4.3.86）将有一个额外的源项。








\subsubsection{度规演化}


考虑$\Phi$在辐射主导时期和物质主导时期的演变是很有趣的：
\begin{itemize}
\item 
在物质时期，我们有
\begin{equation}
	2 \mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2=-8 \pi G a^2 \bar{P}=0,
\end{equation}
从而方程（4.3.86）化简为
\begin{equation}
	\Phi^{\prime \prime}+3 \mathcal{H} \Phi^{\prime}=0,
\end{equation}
其中$\mathcal{H}=2 / \eta$。
这个方程有两个解：$\Phi=\text{常量}$和$\Phi \propto \eta^{-5} \propto a^{-5 / 2}$。
注意，增长模式解是$\Phi=\text{常量}$，与涨落的波长无关。

\item 
在辐射时期，我们有
	\begin{align}
		& 2 \mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2=-\frac{8 \pi G}{3} a^2 \bar{\rho}=-\mathcal{H}^2, \\
		& 4 \pi G a^2 \delta P=\frac{8 \pi G}{3} a^2 \delta \rho=\frac{1}{3}\left(\nabla^2 \Phi-3 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Phi\right)\right), 
	\end{align}
从而方程（4.3.86）变为
\begin{equation}
	\Phi^{\prime \prime}+4 \mathcal{H} \Phi^{\prime}=\frac{1}{3} \nabla^2 \Phi,
\end{equation}
其中$\mathcal{H}=1 / \eta$。
代入场的傅里叶展开，
\begin{equation}
	\Phi(\eta, \boldsymbol{x}) \equiv \int \frac{\mathrm{d}^3 k}{(2 \pi)^{3 / 2}} \Phi_{\boldsymbol{k}}(\eta) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}},
\end{equation}
我们得到
\begin{equation}
	\Phi_k^{\prime \prime}+\frac{4}{\eta} \Phi_k^{\prime}+\frac{1}{3} k^2 \Phi_k=0
\end{equation}
该方程具有如下精确解
\begin{equation}
	\Phi_k(\tau)=A_k \frac{j_1(y)}{y}+B_k \frac{n_1(y)}{y}, \quad y \equiv \frac{1}{\sqrt{3}} k \eta,
\end{equation}
其中下标$\boldsymbol{k}$表示，对于每个$\boldsymbol{k}$值其解可以具有不同的振幅。
初始涨落作为波数的函数，它的大小将由暴胀预测。
在（4.3.94）中的函数$j_1(y)$和$n_1(y)$，分别是球贝塞尔函数和诺依曼函数\myfootnote{对应的英文是spherical Bessel
	and Neumann functions。}
\begin{align}
	j_1(y) & =\frac{\sin y}{y^2}-\frac{\cos y}{y}=\frac{y}{3}+\mathcal{O}\left(y^3\right) \\
	n_1(y) & =-\frac{\cos y}{y^2}-\frac{\sin y}{y}=-\frac{1}{y^2}+\mathcal{O}\left(y^0\right)
\end{align}
由于$n_1(y)$在$y$很小时\textnote{早期}会被放得很大，我们基于初始条件舍弃了该解，即我们设定$B_k \equiv 0$。
我们将常数$A_k$与势能的初始值\textnote{$\Phi_k(0)=-\frac{2}{3} \mathcal{R}_k(0)$，见下面的等式（4.4.110）}给匹配了起来。使用（4.3.95），我们发现
\begin{equation}
	\Phi_k(\eta)=-2 \mathcal{R}_k(0)\left(\frac{\sin y-y \cos y}{y^3}\right) .
\end{equation}
注意，（4.3.97）在所有的尺度上都有效。
\textnote{声}在视界外，$y=\frac{1}{\sqrt{3}} k \eta \ll 1$，此解接近$于\Phi=\text{常量}$，而在亚视界\myfootnote{对应的英文为subhorizon。}尺度上，$y \gg 1$，我们得到
\begin{equation}
	\Phi_k(\eta) \approx-6 \mathcal{R}_k(0) \frac{\cos \left(\frac{1}{\sqrt{3}} k \eta\right)}{(k \eta)^2} \quad \text { (subhorizon) } .
\end{equation}
因此在辐射时期，$\Phi$的亚视界模式以频率$\frac{1}{\sqrt{3}} k$振荡，振幅以$\eta^{-2} \propto a^{-2}$衰减。需记住这一点。


\end{itemize}
图$4.1$显示了在三种代表性波长下引力势的演变。
正如预测的那样，当处在视界之外的模式时，势能是恒定的。
其中两种模式在辐射时代进入视界内。
当它们在辐射时代处于视界内时，它们的振幅衰减为$a^{-2}$。
因此，这导致了在物质时代振幅被强烈抑制。
在物质时代，势能在所有的尺度上都是恒定的。
图中最长波长模式在物质时代进入视界，其振幅仅由
$9 / 10$这个因子来抑制，
该因子来自于辐射到物质的转变\textnote{参见$ \S 4.4.2$}。


\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.57\linewidth]{picture/0087.svg}
	\caption{引力势线性演化的数值解。}
\end{figure}





%%%%
%%%%
\section{初始条件}

在足够早的时期，当前观测感兴趣的所有尺度都在哈勃半径之外。
在超哈勃尺度上，扰动的演化将变得非常简单，特别是对于绝热初始条件。

\subsection{绝热涨落}


绝热扰动具有这样的性质，当
背景宇宙有个轻微的时间变化$\eta+\delta \eta(\boldsymbol{x})$时，
扰动宇宙在一些时空点$(\eta, \boldsymbol{x})$上的
物质局部状态
\textnote{例如由能量密度$ \rho $和压强$ P $决定的}
是相同的。
因此我们可以认为\textnote{注意到时间偏移随位置$ \boldsymbol{x} $的不同而不同}，绝热扰动是由于宇宙的某些部分在演化中“超前”而其他部分演化中“落后”而产生的。
如果宇宙充满了多种流体，那么绝热扰动对应于所有背景量在时间上的一个共同局部偏移引起的扰动；例如，绝热密度扰动定义为
\begin{equation}
	\delta \rho_a(\eta, \boldsymbol{x}) \equiv \bar{\rho}_a(\eta+\delta \eta(\boldsymbol{x}))-\bar{\rho}_a(\eta)=\bar{\rho}_a^{\prime} \delta \eta(\boldsymbol{x}),
\end{equation}
其中$\delta \eta$对于所有物质$a$都是相同的。
这意味着
\begin{equation}
	\delta \eta=\frac{\delta \rho_a}{\bar{\rho}_a^{\prime}}=\frac{\delta \rho_b}{\bar{\rho}_b^{\prime}} \quad \text { for all species } a \text { and } b \text {. }
\end{equation}
使用$\bar{\rho}_a^{\prime}=-3 \mathcal{H}\left(1+w_a\right) \bar{\rho}_a$，我们可以将其写为
\begin{equation}
	\frac{\delta_a}{1+w_a}=\frac{\delta_b}{1+w_b} \quad \text { for all species } a \text { and } b .
\end{equation}
因此，对于绝热扰动，所有物质组分\textnote{$w_m \approx 0$}都具有相同的分数扰动，而所有辐射扰动\textnote{$w_r=\frac{1}{3}$}都遵从
\begin{equation}
	\delta_r=\frac{4}{3} \delta_m
\end{equation}
由此得出，对于绝热涨落，总密度扰动$\delta \rho \equiv \sum\limits_a \bar{\rho}_a \delta_a$是由物质能量密度$\bar{\rho}_a$的主要携带者所主导，因为所有的$\delta_a$都是相当的。
在早期，宇宙是辐射主导的，因此很自然地为所有超哈勃傅里叶模式设定初始条件。
方程（4.3.86）意味着在超哈勃尺度上$\Phi=\text{常量}$，而方程（4.3.79）将导致
\begin{equation}
	\delta \approx \delta_r=-2 \Phi=\text { const. }
\end{equation}
方程（4.4.103）和（4.4.102）表明，对于绝热初始条件，所有的物质扰动都是依照势能$\Phi$的超哈勃值给出的。
在此课程中，我们将关注光子、重子和冷暗物质\textnote{CDM}的演化。
它们的分数密度扰动将满足超哈勃尺度上的（4.4.102）关系式，但在视界内将以不同的方式进行演化。



\subsection{曲率涨落}


只有当背景上的状态方程是恒定的，在超哈勃尺度上引力势$\Phi$才是常数。
每当状态方程变化时\textnote{例如，从暴胀到辐射主导，或从辐射到物质主导的转变}，引力势也会跟着改变\textnote{参见图4.1}。
即使在更加一般的情况下，另外确定一个在大尺度上保持恒定的扰动变量，这将会很方便。
这样的一个变量就是共动曲率扰动：
\begin{equation}
	\mathcal{R}=-\Phi+\frac{\mathcal{H}}{\bar{\rho}+\bar{P}} \delta q,
\end{equation}
其中$T^0{ }_j \equiv-\partial_j \delta q$。
依照$\mathcal{R}$来定义初始条件，这将使我们能够非常容易地将暴胀的预测与原初等离子体的涨落联系起来。



\begin{omnipotent}{证明}
---以下是一个证明，$\mathcal{R}$在超哈勃尺度上\textnote{即对于$k \ll$ $\mathcal{H}$的模式}是守恒的。
首先，需要注意的是，在大尺度$k \ll \mathcal{H}$上，爱因斯坦方程意味着$\mathcal{H} \delta q=-\frac{1}{3} \delta \rho$。
在此极限下，曲率扰动可以写为
\begin{equation}
	\mathcal{R} \stackrel{k \ll \mathcal{H}}{\longrightarrow}-\Phi-\frac{\delta \rho}{3(\bar{\rho}+\bar{P})} .
\end{equation}
为了找到$\mathcal{R}$的演化，我们考虑连续性方程\textnote{即（4.3.49）}：
\begin{equation}
	\frac{\partial \delta \rho}{\partial \eta}+3 \mathcal{H}(\delta \rho+\delta P)+\partial_i q^i=3(\bar{\rho}+\bar{P}) \frac{\partial \Phi}{\partial \eta},
\end{equation}
在大尺度上，$\partial_i q^i$是$k^2$阶，相对于$\mathcal{H}^2$阶可舍去。
求出（4.4.105）中的$\Phi$，并将其代入（4.4.106），得到
\begin{equation}
	\frac{\partial \delta \rho}{\partial \eta}+3 \mathcal{H}(\delta \rho+\delta P)=-3(\bar{\rho}+\bar{P}) \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \eta}+(\bar{\rho}+\bar{P}) \frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{\delta \rho}{\bar{\rho}+\bar{P}}\right)
\end{equation}
$\delta \rho$的时间导数在两侧可抵消，剩下
\begin{equation}
	3(\bar{\rho}+\bar{P}) \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \eta}=-3 \mathcal{H}(\delta \rho+\delta P)-\frac{\bar{\rho}^{\prime}+\bar{P}^{\prime}}{(\bar{\rho}+\bar{P})} \delta \rho
\end{equation}
使用$\bar{\rho}^{\prime}=-3 \mathcal{H}(\bar{\rho}+\bar{P})$，这将变为
\begin{equation}
	(\bar{\rho}+\bar{P}) \frac{\mathcal{R}^{\prime}}{\mathcal{H}}=-\left(\delta P-\frac{\bar{P}^{\prime}}{\bar{\rho}^{\prime}} \delta \rho\right)
\end{equation}
对于绝热扰动，右边为零，我们确立了共动曲率扰动的守恒，$\mathcal{R}^{\prime} \stackrel{k \ll \mathcal{H}}{\longrightarrow} 0$。



\end{omnipotent}
\begin{exercise}
---将（4.3.84）代入（4.4.104）中，给出
\begin{equation}
	\mathcal{R}=-\Phi-\frac{\mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Phi\right)}{4 \pi G a^2(\bar{\rho}+\bar{P})} \stackrel{k \ll \mathcal{H}}{\longrightarrow}-\frac{5+3 w}{3+3 w} \Phi .
\end{equation}
用此证明，在辐射到物质的转变中，$\Phi$在超哈勃模式下的振幅按$9 / 10$因子降低。
\end{exercise}


变量$\mathcal{R}$还有另外一个优点，它是规范不变的，即它的值不取决于坐标系的选取。
尽管（4.4.105）是根据牛顿规范中定义的变量来写出的，但如果我们将度规写成$g_{i j}=-a^2\left[(1-2 \Phi) \delta_{i j}+\partial_i \partial_j E\right]$，动量密度写成$T^0{ }_j=\partial_j \delta q$，则它适用于任意规范。
虽然我们主要坚持使用牛顿规范，但第6章中的暴胀涨落计算在空间平直规范\textnote{$ \Phi=E=0 $}下是最简单的。
曲率扰动$\mathcal{R}$提供了一个“桥梁”，将第6章中获得的结果与讲义中其余部分的分析联系了起来。


\subsection{统计学}

暴胀中的量子力学，仅对初始条件做了统计学预测，即它预测的是不同方向上CMB涨落之间的相关性，而不是特定方向上温度涨落的具体值。
对于高斯初始条件，这些相关性完全由两点关联函数所阐明
\begin{equation}
	\left\langle\mathcal{R}(\boldsymbol{x}) \mathcal{R}\left(\boldsymbol{x}^{\prime}\right)\right\rangle \equiv \xi_{\mathcal{R}}\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\xi_{\mathcal{R}}\left(\left|\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{x}\right|\right),
\end{equation}
其中，最后一个等式是统计的均匀性和各向同性的结果。
因此$\mathcal{R}$的傅里叶变换满足
\begin{equation}
	\left\langle\mathcal{R}(\boldsymbol{k}) \mathcal{R}^*\left(\boldsymbol{k}^{\prime}\right)\right\rangle=\frac{2 \pi^2}{k^3} \Delta_{\mathcal{R}}^2(k) \delta_D\left(\boldsymbol{k}-\boldsymbol{k}^{\prime}\right),
\end{equation}
其中$\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)$是\textnote{无量纲的}功率谱。
\begin{exercise}
---证明下式
\begin{equation}
	\xi_{\mathcal{R}}\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\int \frac{\mathrm{d} k}{k} \Delta_{\mathcal{R}}^2(k) \operatorname{sinc}\left(k\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^{\prime}\right|\right) .
\end{equation}
\end{exercise}
在第6章中，我们将计算由暴胀预测的$\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)$的形式。
我们会发现，此谱采取了幂律的形式
\begin{equation}
	\Delta_{\mathcal{R}}^2(k)=A_{\mathrm{s}}\left(\frac{k}{k_*}\right)^{n_{\mathrm{s}}-1} .
\end{equation}
对于$k_*=0.05 \mathrm{Mpc}^{-1}$，如果$A_{\mathrm{s}}=2 \times 10^{-9}$和$n_{\mathrm{s}}=0.96$，那么这将同观测的约束相一致。



\section{总结}


我们推导了牛顿规范下标量扰动的线性演化方程，其中度规具有如下形式
\begin{equation}
	\mathrm{d} s^2=a^2(\eta)\left[(1+2 \Psi) \mathrm{d} \eta^2-(1-2 \Phi) \delta_{i j} \mathrm{~d} x^i \mathrm{~d} x^j\right] .
\end{equation}
在这些课程中，我们没有遇到各向异性应力起主要作用的情况，因此我们始终能够设定$\Psi=\Phi$。



\begin{itemize}
\item 
爱因斯坦方程是
	\begin{align}
		\nabla^2 \Phi-3 \mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Phi\right) & =4 \pi G a^2 \delta \rho \\
		\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Phi & =-4 \pi G a^2(\bar{\rho}+\bar{P}) v \\
		\Phi^{\prime \prime}+3 \mathcal{H} \Phi^{\prime}+\left(2 \mathcal{H}^{\prime}+\mathcal{H}^2\right) \Phi & =4 \pi G a^2 \delta P
	\end{align}
右边的源项应解释为所有相关物质成分\textnote{如光子、暗物质、重子等}的总和。
如果我们引入共动规范密度差异，泊松方程的形式将会特别简单
\begin{equation}
	\nabla^2 \Phi=4 \pi G a^2 \bar{\rho} \Delta .
\end{equation}

\item 
从应力张量的守恒中，我们导出了连续性方程和欧拉方程的相对论形式推广
	\begin{align}
		\delta^{\prime}+3 \mathcal{H}\left(\frac{\delta P}{\delta \rho}-\frac{\bar{P}}{\bar{\rho}}\right) \delta & =-\left(1+\frac{\bar{P}}{\bar{\rho}}\right)\left(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}-3 \Phi^{\prime}\right) \\
		\boldsymbol{v}^{\prime}+3 \mathcal{H}\left(\frac{1}{3}-\frac{\bar{P}^{\prime}}{\bar{\rho}^{\prime}}\right) \boldsymbol{v} & =-\frac{\boldsymbol{\nabla} \delta P}{\bar{\rho}+\bar{P}}-\nabla \Phi
	\end{align}
这些方程适用于总的物质和速度，也适用于任何没有相互作用的组分\textnote{因此他们各自的应力--能量张量分别守恒}。



\item 
一个非常重要的量是共运动曲率扰动
\begin{equation}
	\mathcal{R}=-\Phi-\frac{\mathcal{H}\left(\Phi^{\prime}+\mathcal{H} \Phi\right)}{4 \pi G a^2(\bar{\rho}+\bar{P})}
\end{equation}
我们已经证明了，在超级哈勃尺度上\textnote{$k \ll \mathcal{H}$}，$\mathcal{R}$不会变化，除非对于非绝热的压强变得很重要。
这一事实对联系后期的可观察量来说相当关键，
例如星系的分布\textnote{第5章}和暴胀的初始条件\textnote{第6章}。
\end{itemize}













